قابليت اطمينان
v\:* {behavior:url(#default#VML);}
o\:* {behavior:url(#default#VML);}
w\:* {behavior:url(#default#VML);}
.shape {behavior:url(#default#VML);}
فصل اول
مباني نظريه و قابليت اطمينان
1-1- مقدمه
مطالعه درباره قابليت اطمينان بخش مهمي از فرايند طراحي مهندسي است كه در آن عملكرد آينده يك سيستم مورد بررسي و قضاوت قرار ميگيرد. از آنجا كه پيشبيني آينده نميتواند با قطعيت كامل همراه باشد طبيعي است در انجام محاسبات قابليت اطمينان، روشهايي بكار ميروند كه امكان مدلسازي عدم قطعيت را فراهم ميآورند. كميتهاي رياضي بايد تعارف دقيقي داشته و توسط اعداد بيان كردني باشند اما همين كميتها معمولاً از مفاهيم ذهني سرچشمه ميگيرند كه نميتوان تمام جنبههاي آنها را به عدد درآورد. نياز به قابليت اطمينان عاملي است كه كم و بيش همه ما را وادار به صرف وقت، انرژي و پول ميكند. بطوركلي قابليت اطمينان بيشتر معادل با هزينه بالاتر است. اما با يك هزينه معين قابليت اطمينان سيستم را به چه سطحي ميتوان رسانيد؟!
با انجام محاسبات قابليت اطمينان ميتوان به موارد بالا پاسخ داد. به علاوه امكان مقايسه طرحهاي مختلف و انتخاب مناسبترين آنها فراهم ميگردد. پيشرفتهاي اوليه در تكنيكهاي محاسبه قابليت اطمينان با تحقيقات مربوطه به صنايع فضايي و نظامي همراه بود. اين تكنيكها سپس در صنايع هستهاي، كارخانههاي با توليد مداوم نظير كارخانههاي ساخت مواد شيميايي و فولاد، كه با بروز خطا ضررهاي زيادي متحمل ميشوند و بالاخره در صنعت برق كه موظف است نياز مصرفكنندگان را در هر زمان برآورده سازد، جاي خود را بسرعت باز كردند. بايد بخاطر داشت اظهارنظر در مورد عملكرد مناسب يك سيستم مسأله پيچيدهاي است و حتما بايد با قضاوت مهندسي، كه عميقاً ريشه در تجربه دارد انجام پذيرد. بنابراين مجاسبه قابليت اطمينان ابزاري در دست مهندس طراح ميباشد نه جايگزين او. در زماني هم كه هنوز ارزيابي قابليت اطمينان به صورت يك روال مستقل هويت پيدا نكرده بود مهندسان با استفاده از تجربه خود و با عنايت به مفهوم ذهني قابليت اطمينان، طراحيهاي برجستهاي انجام ميدادند. انجام محاسبات قابليت اطمينان بدون توجه به واقعيت فيزيكي، بيشتر به يك بازي رياضي شبيه است تا يك كار جدي مهندسي.
نكته ديگر آنكه يك طرح با وجود داشتن قابليت اطمينان بالا فقط وقتي در عالم واقعيت به همان ميزان اعتبار خواهد داشت كه با يك كنترل كيفيت خوب در مرحله ساخت، به قابليت اطمينان ذاتي آن اجازه بروز داده شود. بنابراين قابليت اطمينان و كنترل كيفيت كاملاً بهم وابستهاند. در ادامه مفاهيم اصلي تئوري قابليت اطمينان بيان خواهد شد. سپس روشهاي محاسبه قابليت اطمينان تعريف شده در سيستمهاي گوناگون، مورد بررسي قرار خواهد گرفت تا بدين ترتيب زمينه براي مطالعه قابليت اطمينان در شبكههاي توزيع انرژي الكتريكي كه موضوع فصل دوم است فراهم گردد.
1-2- مفاهيم اصلي قابليت اطمينان
تكنيكهاي ارزيابي قابليت اطمينان بر تئوري احتمال بنا گرديدهاند. لذا بهرهمندي از دانش كافي درباره اين تئوري شرط لازم براي ورود به مباحث قابليت اطمينان است.
قابليت اطمينان يك سيستم، R(t) احتمال باقي ماندن آن در حالت عملكرد براي مدت زمان t پس از شروع به كار است بشرطي كه در زمان t=o سيستم سالم (در حالت عملكرد) بوده باشد. با كمي دقت ميتوان دريافت كه t در تعريف فوق يك متغير تصادفي است. به اين متغير، زمان تا خرابي گفته ميشود. تابع چگالي احتمال t و f(t) تابع چگالي خرابي دارد. با انتگرالگيري از f(t) روي [o,t] تابع توزيع تجمعي خرابي حاصل ميشود كه بيانگر احتمال خراب شده سيستم در آن بازه زماني است.
(1-1)
از آنجا كه
(1-2) Q(t)+R(t)=1
پس
(1-3)
ديده ميشود كه قابليت اطمينان از نوع احتمال ميباشد. البته R و Q تنها شاخصههايي نيستند كه براي ارزيابي قابليت اطمينان سيستمها مورد استفاده قرار ميگيرند. در حقيقت تعداد اين شاخصها بسيار زياد است و مناسبترين آنها با توجه به سيستم مورد بررسي و نيازهاي آن انتخاب ميشوند. به شاخصهاي مذكور در مجموع ضرايب قابليت اطمينان اطلاق ميگردد. بطور مثال ميتوان از زمان متوسط بين دو خرابي متوالي، زمان متوسط خرابي يك وسيله، ضرر متوسط بدليل خرابي، تعداد متوسط خرابيهاي اتفاق افتاده در يك بازده زماني و ... نام برد.
يكي از مسائل بحثبرانگيز تعيين شكل تابع چگالي خرابي است. براي پرداختن به اين مسأله لازم است ابتدا تابع ديگري معرفي گردد كه از پر كاربردترين توابع در محاسبات قابليت اطمينان ميباشد. اين تابع كه نرخ خرابي خوانده شده با نماد نشان داده ميشود در حقيقت مبين نرخ يا سرعتي است كه خرابيها اتفاق ميافتند البته با تعداد خرابيهاي بوجود آمده در يك بازده زماني داده شده تفاوت دارد زيرا مقدار آن وابسته به بزرگي جامعه تحت بررسي است. مثلاً گرچه تعداد خرابيها در يك جامعه آماري با 100 نمونه مشابه، كمتر از تعداد خرابيها در يك جامعه با 1000 عدد از همان نمونه ميباشد، نرخ خرابي هر دو يكي است. به بيان ديگر اگر دو جامعه آماري فوق داراي تعداد خرابي يكسان در يك بازده زماني مشخص باشند نرخ خرابي جامعه 100 عضوي از نرخ خرابي جامعه 1000 عضوي بيشتر است.
با اين توضيح معلوم ميشود كه نرخ خرابي وابسته به تعداد خرابيها در يك بازده زماني و تعداد اعضاي قرار گرفته در معرض خرابي ميباشد.
حال فرض كنيد نمونهاي با تعداد ثابت N0 عضو مورد آزمايش قرار گرفته و نتايج زير حاصل شده است:
تعداد اعضاي سالم مانده در زمان N0(t)=t
تعداد اعضاي خراب شده در زمان Nf(t)=t
بديهي است كه
(1-5) Ns(t)+Nf(t)=N
در هر زمان t، تابع قابليت اطمينان يا تابع عمر با رابطه زير بيان ميشود.
(1-6)
رابطه R(t) و f(t) بصورت زير قابل بيان است.
(1-7)
در نتيجه
(1-8)
با توجه به رابطه (1-4) براي ميتوان نوشت.
(1-9)
از اينجا رابطه R(t) برحسب بدست ميآيد.
(1-11)
اگر يعني ثابت و مستقل از زمان باشد آنگاه
(1-12)
(1-13)
پس با فرض ثابت بودن نرخ خرابي يك تابع چگالي نمايي حاصل ميگردد.
مشاهده ميشود كه فرض ثابت بودن روابط را بشدت ساده ميكند. اما آيا در عمل اين فرض درست است؟
منحني تغييرات نرخ خرابي برحسب طول عمر كه براي بسياري از قطعات و وسايل بطور تقريبي صادق است بصورت زير ميباشد.
اول كه مرحله اشكالزدايي نام دارد نرخ خرابي با گذشت زمان كم ميشود. در اين فاز خرابيها در نتيجه وجود اشكال در طراحي وسيله روي ميدهند. با برطرف كردن اين اشكالات، وسيله وارد فاز دوم يا عمر مفيد خود ميشود. در اينجا نرخ خرابي با تقريب خوبي ثابت است. مرحله آخر زماني است كه وسيله بتدريج فرسوده ميگردد و در نتيجه نرخ خرابي آن با زمان، افزايش قابل ملاحظهاي مييابد. به شكل فوق منحني وان حمام گفته ميشود.
پس براي عملكرد طبيعي يك قطعه ميتوان از توزيع نمايي استفاده كرد. البته طول عمر مفيد قطعات مختلف بسيار متنوع است. مثلاً قطعات الكترونيكي عموماً طول عمر مفيدشان زياد است. در عوض قطعات مكانيكي عمر مفيد كمي دارند. مسئله ديگر كه باز استفاده از توزيع نمايي را توجيه ميكند اين است كه معمولاً قطعات يك سيستم به حال خود رها نشده بلكه براي جلوگيري از فرسودگي هراز چند گاهي سرويس و تعمير ميگردند. به اين عمل، رسيدگي گفته ميشود. بدين ترتيب مدت باقي ماندن قطعه در فاز دوم افزايش مييابد. از آنجا كه در سيستمهاي مورد بررسي در اين تحقيق، رسيدگي هميشه اعمال ميشود بايد در مدلسازي اثر آن منظور گردد. در اين راستا تابعي بنام نرخ تعمير بصورت زير تعريف ميشود.
(1-14)
زماني كه طول ميكشد تا وسيله عمر تعمير يا سرويس شود يك متغير تصادفي است. تشابه ميان نرخ تعمير و نرخ خرابي ناگفته پيداست. در حقيقت هر دو اينها را ميتوان در قالب كلي نرخ انتقال تعريف كرد.
بدين ترتيب كه يك سيستم يا يك وسيله در هر زمان در حال كار و يا در حال تعمير ميباشد. حالت كار يك وسيله را حالت بالا و حالت تعمير آنرا حالت پايين گويند. انتقال يعني رفتن از يك حالت به حالت ديگر، نرخ انتقال بصورت زير تعريف ميشود.
(1-15)
باتوجه به مفهوم نرخ انتقال با روابط زير بيان ميگردند.
(1-16)
(1-17)
شايد برابري روابط (1-4) و (1-16) همچنين (1-14) و (1-17) در نگاه اول آشكار نباشد. اما بحث زير ثابت ميكند كه (1-4) و (1-16) نتايج يكساني در بر دارند. استدلال براي دو رابطه ديگر مشابه است.
آزمايشي كه بايد براي بدست آوردن (1-4) انجام گيرد چنين است: يك نمونه تصادفي n تايي از جامعه موردنظر انتخاب كنيد. مثلاً تعداد 100 عدد از وسيلهاي كه ميخواهيد نرخ خرابي آنرا پيدا كنيد. همه اعضاي نمونه را بكار اندازيد زمان تا خرابي هر يك را ثبت نماييد. از رابطه (1-4) نرخ خرابي را محاسبه كنيد.
آزمايش زيربنايي رابطه(1-16) عبارت است از: يك عدد وسيله را به تصادف انتخاب كنيد. آنرا بكار اندازيد و بگذاريد خراب شود. زمان تا خرابي را ثبت كنيد. سپس آنرا تعمير كنيد و مجدداً بكار اندازيد. آن عمليات را تا جايي كه اطلاعات كافي بدست آيد ادامه دهيد(مثلاً 100 بار).
از رابطه (1-16) نرخ خرابي را محاسبه كنيد.
فرض بر اينست كه تعمير يك وسيله و انتخاب يك وسيله از جامعه با هم معادل هستند.
اين دو آزمايش را ميتوان به آزمايشهاي انداختن n سكه با هم و يك سكه n بار تشبيه كرد.
يادآور ميشود كه t در روابط فوق متغير تصادفي است. در روابط (1-4) و (1-16) t زمان تا خرابي و در روابط (1-14) و (1-17) t زمان تا تعمير يا همان زمان تعمير ميباشد.
گفته شد كه براي سيستمهاي موردنظر در اينجا رسيدگي اعمال ميگردد. در چنين سيستمهايي براي بيان قابليت اطمينان معمولاً از دو احتمال صحبت ميشود. احتمال در دسترس بودن و احتمال در دسترس نبودن. اولي را با A(t) و دومي را با U(t) نشان ميدهند.
در دسترس بودن عبارت است از احتمال اينكه سيستمي در يك زمان t در آينده در حالت عملكرد باشد بشرطي كه در زمان t=0 در حالت عملكرد بوده باشد.
ممكن است در مقاطعي از زمان [O,t] سيستم به حالت پايين (تعمير) برود و از اينجا تفاوت بين A(t) و R(t) معلوم ميگردد. توجه كنيد كه R(t) احتمال باقيماندن سيستم درحالت بالا (عملكرد) در تمام طول [O,t] ميباشد.
احتمال در دسترس نبودن U(t) را ميتوان بطور مشابه تعريف و با Q(t) مقايسه كرد.
در انتهاي اين قسمت لازم است بار ديگر به مسأله توزيعهاي احتمال توجه شود. دلايلي براي استفاده از توزيع نمايي ارائه گرديد. اما مشكل به همين سادگي حل نميشود. اولاً منحني وان حمام تأكيد ميكند كه در زمان فرسودگي، نرخ خرابي ثابت نيست. گرچه سعي بر اين است كه از رسيدن قطعات به اين فاز جلوگيري شود همواره اين امكان وجود دارد كه قطعه يا قطعاتي از سيستم فرسوده شده باشند. بنابراين لازم است به اين مرحله نيز توجه كافي مبذول گردد.
ثانياً نرخهاي تعمير معمولاً از توزيع نمايي پيروي نميكنند و گاه براي مدل كردن آنها ناگزير از روشهاي عددي استفاده ميشود. به روشهاي عددي كه براي حل مسأله مربوط به متغيرهاي تصادفي به كار ميروند مجموعاً «مدلسازي مونت كارلو» اطلاق ميگردد. با توضيحات اخير شايد تصور اين باشد كه مطالب ارائه شده بسيار نادقيق بوده و در عمل ارزشي ندارند. اما خوشبختانه حقيقتي وجود دارد كه اين كاستيها را تا اندازهاي جبران ميكند.
اكثر تكنيكهاي محاسباتي كه در قسمت آينده آورده ميشوند در مورد متوسطهاي آماري متغيرهاي تصادفي درست ميباشند و ربطي به توزيعهاي زيربنايي آنها ندارند. از آنجا كه براي بيان ضرايب قابليت اطمينان از متوسطهاي آماري بهره گرفته ميشود. مهندس طراح با آسودگي خاطر از تكنيكهاي مذكور استفاده ميكند و نگراني او بيشتر اين است كه متوسطهاي آماري اطلاعات ورودي با چه دقتي در اختيار هستند.
(1-3) تكنيكهاي محاسبه قابليت اطمينان سيستمها
وقتي صحبت از سيستم ميشود منظور تعدادي قطعه است كه با هم وظيفه خاصي را انجام ميدهند. اگر وظيفه موردنظر تحقق يابد سيستم در كار خود موفق بوده است و در غير اينصورت با شكست مواجه شده است. يكي از عوامل عمده عدم موفقيت سيستم، خراب شدن قطعات تشكيل دهندة آن است.
البته خرابي يك قطعه لزوماً به معني خرابي سيستم نيست بلكه اين به نحوه شركت داشتن قطعه در عملكرد مجموعه مربوط ميشود. مطالعات قابليت اطمينان بايد تعيين كنند كه حساسيت يا ميزان تأثيرپذيري سيستم از خرابي هر يك از اجزاء چه اندازه ميباشد. براي اين منظور تقسيمبنديهايي از انواع سيستمها صورت پذيرفته است كه مهمترين آنها عبارتند از: سيستمهاي سري، موازي، سري – موازي، K از n كمكي آماده باشد و پيچيده.
1-3-1- سيستم سري
در يك سيستم سري همه اجزاء بايد براي موفقيت كار كنند. به عبارت ديگر خرابي حتي يكي از قطعات منجر به شكست يا خرابي سيستم ميشود. شكل (1-2) بطور نمادين يك سيستم سري شامل دو عنصر را نشان ميدهد.
اگر قابليت اطمينان قطعات A و B به ترتيب RA و RB باشند آنگاه قابليت اطمينان سيستم
(1-18) RS=RARB
ميباشد احتمال شكست سيستم نيز براحتي قابل محاسبه است.
(1-19) QS=1-RARB=QA+QB-QAQB
مشاهده ميشود كه قابليت اطمينان سيستم سري از قابليت اطمينان هر يك از اجزاء تشكيلدهنده آن كمتر ميباشد.
1-3-2- سيستم موازي:
در يك سيستم موازي فقط لازم است يكي از قطعات كار كند تا سيستم بتواند وظيفه خود را به انجام رساند يا براي خرابي سيستم همه اجزا بايد خراب باشند. شكل (1-3) نشاندهنده يك سيستم موازي دو عنصري است.
احتمال شكست اين سيستم عبارتست از:
(1-20) QP=QAQB
در نتيجه
(1-21) RP=1-QAQB=RA+RB-RARB
برخلاف سيستم سري، قابليت اطمينان سيستم موازي با افزايش تعداد قطعات زياد ميشود.
1-3-3- سيستم سري – موازي
ممكن است در يك سيستم هم تركيب سري و هم تركيب موازي وجود داشته باشد. در اين صورت با استفاده از روابط فوق براحتي ميتوان قابليت اطمينان سيستم را حساب كرد.
شكل (1-4) سيستمي شامل 8 قطعه كه در دو شاخه چهارتايي با هم موازي شدهاند را نشان ميدهد.
1-3-4- سيستم k از n
اگر براي موفقيت يك سيستم n عضوي لازم باشد كه حداقل k عضو كار كنند به آن سيستم، k از n گويند. براي محاسبه قابليت اطمينان چنين سيستمي، تركيبات k عضوي، k+1 عضوي، ...، n عضوي از n عضو را پيدا و براي هر يك قابليت اطمينان را حساب ميكند. از مجموع قابليت اطمينان تركيبات، قابليت اطمينان كل سيستم بدست ميآيد. به عنوان مثال اگر سيستمي از سه عنصر A و B و C تشكيل شده و 2 از 3 باشد آنگاه در صورت داشتن هر يك از حالات زير سيستم به وظيفه خود عمل ميكند.
خراب
سالم
C
A,B
A
B,C
B
C,A
-
A,B,C
جدول(1-1): حالات موفقيت يك سيستم 2 از 3
در نتيجه
(1-22) RTOT=RARBQC+RBRCQA+RCRAQB+RARBRC
1-3-5- سيستم كمكي آماده باش
سيستم موازي را ميتوان كمكي كامل نيز دانست زيرا تعدادي قطعه بطور همزمان در حال كار هستند تا وظيفهاي كه هر يك به تنهايي قادر به انجام آن ميباشند تحقق يابد. در بعضي از سيستمها قطعات كمكي تعبيه ميشوند اما فقط زماني شروع به كار ميكنند كه قطعه اصلي دچار خرابي گردد. شكل (1-5) بطور نمادين سيستمي شامل يك قطعه كمكي را نشان ميدهد.
اگر A خراب شود كليد S، قطعه B را وارد عمل ميكند. براي محاسبه قابليت اطمينان چنين سيستمي بايد موفقيت و شكست كليد را نيز در نظر گرفت. با استفاده از احتمالات شرطي، احتمال شكست سيستم فوق بصورت زير قابل بيان است.
(1-23)
(عدم موفقيت كليد)P×(عدم موفقيت كليد شكست سيستم)P+(موفقيت كليد)P×(موفقيت كليد شكست سيستم)P= (شكست سيستم)P
بنابراين
(1-24) Q=QAQBRS+QAQS
كه در آن RS قابليت اطمينان كليد است و QS=1-RS
اگر RS=1 آنگاه Q=QAQB و سيستم فوق مشابه يك سيستم موازي عمل ميكند.
1-3-6- سيستم پيچيده
اگر در روابط ميان اعضاي تشكيلدهنده يك سيستم تركيباتي غير از سري يا موازي ساده ديده شود به سيستم پيچيده گويند. يك مثال آشنا در اين مورد سيستم پل است.
هرچه تعداد اعضاي يك سيستم و ارتباطات ميان آنها بيشتر باشد بر پيچيدگي سيستم افزوده ميگردد. روشهايي وجود دارند كه توسط آنها ميتوان قابليت اطمينان اين سيستمها را به نحو مؤثري بررسي نمود. از آن جمله بايد به موارد زير اشاره كرد.
I. روش كاتست
II. روش تاي ست
III. روش ماتريسي
IV. درخت پيشامد
V. درخت خطا
در ادامه هر يك از روشهاي فوق مختصرا توضيح داده ميشود. لازم به ذكر است كه اختلاف اين روشها در اصول زيربنايي نبوده بلكه در نحوه نمايش و كاربرد ميباشد. بنابراين وجود بعضي تشابهات ميان آنها امري طبيعي است.
1-3-7- روشهاي بررسي قابليت اطمينان سيستمهاي پيچيده
I. روش كات ست
روش كاتست به دو دليل روشي قدرتمند براي ارزيابي قابليت اطمينان سيستمها ميباشد:
I. براحتي ميتوان آنرا براي كامپيوتر برنامهريزي كرد و براي حل هر شبكه كلي بكار گرفت.
II. كاتستها مستقيماً به طرق خرابي سيستم مربوط ميشوند و بنابراين تشخيص سريع راههاي ممكن خرابي سيستم در اين روش امكانپذير ميباشد.
يك كاتست طبق تعريف مجموعهاي از قطعات سيستم است كه اگر خراب شوند سيستم نيز دچار خرابي ميگردد. كاتست را مينيمال گويند اگر سالم ماندن قطعات آن، سيستم را از شكست حفظ كند. به بيان ديگر ميتوان گفت خراب شدن اعضاي يك كاتست بين ورودي و خروجي را قطع ميكند. به عنوان نمونه در سيستم پل شكل (1-6) كاتسيتهاي مينيمال زير قابل تشخيص ميباشند.
اعضاي كات ست
شماره كات ست مينيمال
AB
1
CD
2
AED
3
BEC
4
جدول(1-2): كاتستهاي مينيمال شكل (1-6)
براي پيدا كردن قابليت اطمينان كل بايد كاتستها با هم تركيب شوند. از تعريف كاتست، مينيمال استنباط ميشود كه اعضاي آن اساساً با هم موازي هستند. از طرفي با خرابي هركاتست سيستم از كار ميافتد پس خود كاتستها عملاً با هم سري ميشوند. از اين تحليل براي سيستم پل، دياگرام زير حاصل ميگردد.
اگر كات ستها را به ترتيب با C1،C2 ، C3، C4 نشان دهيم احتمال شكست سيستم QS عبارت خواهد بود از
كه اگر QA=QB=QC=QD=QB=Q آنگاه پس از انجام عمليات جبري
(1-25) QS=2Q2+2Q3-5Q4+2Q5
RS=1-QS
(1-26) RS=2R2+2R3-5R4+2R5
در اين روش زمان محاسبات قاليت اطمينان سيستمهاي بزرگ، خيلي زياد است. به اين منظور با لحاظ كردن مقداري خطا ميتوان تقريبهايي به كار برد.
البته اين خطا در مقايسه با ترانس و خطاي دادههاي قابليت اطمينان سيستم ناچيز است. در تقريب اول ميتوانيم معادله(1-24) را به صورت زير بنويسيم.
(1-27)
در اين تقريب مقدار QS هميشه از مقدار حقيقي بيشتر ميباشد و معمولاً مرز بالاي غيرقابل اطمينان بودن سيستم معرفي ميشود.
تعداد عناصر در هر كات ست، درجه آن را مشخص مينمايد. مثلاً اگر كات ست شامل دو عنصر باشد آن را درجه دو مينامند.
تقريب دوم، حذف كات ستهاي مينيمال از يك درجه خاص به بالا است. در اين صورت يك مرز پايين غيرقابل اطمينان بودن سيستم بدست ميآيد. يك معيار قابل قبول براي شبكههاي قدرت، پيدا نمودن كات ستهاي مينيمال تا درجه N+1 است كه n درجه كوچكترين كات ست مينيمال است.
در سيستمهاي ساده بدست آوردن كات ستها مشكل نيست اما در سيستمهاي بزرگ اين مسئله مشكل است. براي بدست آوردن كات ستهاي مينيمال روشهاي زيادي ارائه گرديده است.
اكثر اين روشها بر مبناي مسير مينيمال بين ورودي و خروجي شبكه بيان شدهاند. يك مسير بين ورودي و خروجي مينيمال است به شرطي كه هيچ گره يا تقاطعي بيش از يك بار در مسير ظاهر نشود.
مطابق با اين تعريف مسيرهاي مينيمال شبكه(1-6) عبارتند از AC و BD و AED و BEC روشي كه توسط آلن و همكاران او در سال 1976 ارائه شد روش مناسبي براي بدست آوردن كات ستهاي مينيمال است. مراحل اين روش به صورت زير است:
I. همه مسيرهاي مينيمال را بدست ميآوريم.
II. ماتريس تلاقي سيستم را به دست ميآوريم. سطرهاي اين ماتريس شماره مسيرهاي مينيمال و ستونهاي آن شماره عناصر ميباشد. اين ماتريس وجود عناصر در هر مسير را مشخص مي كند در صورت وجود عنصر در مسير عدد يك و در غير اين صورت عدد صفر به درايه ماتريس اختصاص داده ميشود.
III. اگر همه المانهاي يك ستون ماتريس تلاقي غير صفر باشند آن عنصر يك كات ست مينيمال درجه اول است. در اين صورت المانهاي ستون اين عنصر را در ماتريس تلاقي صفر ميكنيم.
IV. ستونهاي ماتريس تلاقي را دو به دو با هم تركيب مي كنيم(جمع منطقي). اگر همه عناصر اين ستون تركيبي غير صفر شدند اين كاتست، يك كاتست مينيمال درجه دوم است.
V. ستونهاي ماتريس تلاقي را سه به سه تركيب ميكنيم اگر همه عناصر اين ستون تركيبي غيرصفر شدند. يك كاتست مينيمال درجه سوم است براي بدست آوردن كاتستهاي مينيمال درجه سوم بايد كاتستهايي كه شامل كات ستهاي مينيمال درجه دوم است حذف شوند.
VI. براي درجات بالاتر همين روش را تكرار ميكنيم تا بالاترين درجه كاتست مينيمال بدست آيد. ماكزيموم درجه كاست مينيمال حداكثر برابر تعداد مسيرهاي مينيمال است.
II. روش تاي ست
اين روش اساساً مكمل روش كات ست است. از آنجا كه در اين روش طرق خرابي سيستم مستقيماً يافت نميشوند كمتر از آن استفاد مي گردد.
تايست يك مسير مينيمال از ورودي به خروجي است كه در آن اعضا بطور سري نسبت به هم قرار گرفتهاند. در نتيجه خرابي تاي ست با خرابي هر يك از اعضاي واقع در آن صورت ميگيرد. سيستم وقتي دچار خرابي ميگردد كه همه تاي ستها آن خراب شوند شكل (1-8) تاي ستهاي سيستم پل را نشان ميدهد.
III. روش ماتريسي
در اين روش ابتدا ماتريسي كه ارتباط بين اعضاء در سيستم را نشان ميدهد شناخته ميشود. در مورد سيستم شكل (1-6) ماتريس زير بدست ميآيد.
(1-26)
در اين ماتريس تفاوتي بين اعضاي يك جهته مانند A و B و اعضاي دو جهته مانند E وجود ندارد. ايده كار، تبديل اين ماتريس اوليه به ماتريسي است كه در آن جريان بين ورودي و خروجي مشخص شده باشد. ورودي و خروجي گرههايي هستند كه ميتوان آنها را به دلخواه اختيار كرد. براي تحقق اين هدف دو روش وجود دارد: حذف گره و ضرب ماتريسي.
در حذف گره بايد به غير از ورودي و خروجي تمام گرههاي ديگر را بتدريج حذف كرد تا در نهايت به يك ماتريس 2×2 رسيد. در مثال حاضر گرههاي 1 و 4 بايد در انتها باقي بمانند.
براي حذف گره Kام از ماتريس، هر المان بايد به يك المان جديد جايگزين شود. بنابراين با حذف گره 2 از ماتريس M به
و بالاخره با حذف گره 3 به
(1-29)
ميرسيم. المان N14 روش انتقال از گره 1 به گره 4 را بيان ميكند.
در ضرب ماتريسي ماتريس پايه آنقدر در خودش ضرب مي شود تا ديگر نتيجه ضرب تغيير نكند در مورد سيستم حاضر.
از اينجا به بعد نتيجه ضرب ثابت است و عمليات ميتواند متوقف شود. يك مزيت روش اخير بر روش حذف گره اين است كه علاوه بر نحوه انتقال بين ورودي و خروجي نحوه انتقال بين هر دو گره ديگر نيز مشخص ميشود.
مشاهده ميگردد كه روش ماتريسي عملاً منجر به يافتن كات ستهاي مينيمال ميشود. بنابراين ادامه راه تا پيدا شدن قابليت اطمينان سيستم مشابه روش كات ست است.
IV. درخت پيشامد
درخت پيشامد در واقع نمايش تصويري همه اتفاقاتي است كه مي تواند در يك سيستم پديد آيد. علت اين نامگذاري آن است كه هرچه به تعداد اتفاقات نشان داده شده افزوده ميگردد انشعابات نمايش تصويري نيز مانند شاخههاي يك درخت زياد ميشوند. از اين روش ميتوان در بررسي قابليت اطمينان سيستمهايي كه پيوسته در حال كار هستند و سيستمهاي آماده باش بهره گرفت. در مورد دوم، ترتيب آوردن پيشامدها در درخت بايد رعايت شود زيرا مثلاً تا زماني كه يك وسيله كمكي در حال كار نباشد نميتوان از خرابي آن صحبت كرد.
V. درخت خطا
از اين روش عمدتاً در بررسي سيستمهاي آماده باش استفاده ميشود. منطقي كه در روش درخت خطا استفاده ميگردد در جهت عكس منطق مربوط به درخت پيشامد است. به اين ترتيب كه از يك خطاي خاص شروع و سعي ميكنند شرايطي را كه منجر به پيشامدن آن ميشود پيدا نمايند و آنقدر پيش بروند تا به علل اوليه و اصلي برسند. با اين روش يك مهندس طراحي ميتواند پس از يافتن توالي خطاها به چارهانديشي براي جلوگيري از بروز آنها بپردازد.
1-3-8- تكنيكهاي ارزيابي و توزيعهاي احتمال
در يك نگاه اجمالي ميتوان گفت كه تكنيكهاي بررسي شده تاكنون به طراح امكان ميدهند تا يك سيستم هرچند پيچيده را به سيستم معادلي كه فقط شامل اجزاء سري و موازي است تبديل كند. اين تكنيكها صرفنظر از اينكه قابليت اطمنان اجزاء تشكيلدهنده سيستم اعدادي ثابت و يا وابسته به زمان باشند قابل استفاده هستند. وابسته به زمان بودن قابليت اطمينان به معني پيروي آن از يك توزيع احتمال(زمان، متغير تصادفي) است.
اكنون اين مطلب بطور خاص در مورد سيستمهاي سري و موازي نشان داده ميشود.
قابليت اطمينان يك سيستم سري كه از دو قطعه تشكيل ميگردد بصورت:
(1-18) RS=R1R2
بدست آمد. اگر R1 و R2 وابسته به زمان باشند قابليت اطمينان سيستم نيز چنين خواهد بود.
(1-32) RS(t)=R1(t)R2(t)
و در حالت كلي
(1-33)
اگر سيستم از n قطعه سري تشكيل شود:
(1-34)
در حالت خاصي كه توزيعها نمايي هستند () روابط بصورت زير ساده ميشوند.
(1-35)
ميتوان يك نرخ خرابي معادل براي كل سيستم تعريف كرد.
(1-36)
كه براي حالت نمايي
(1-37)
(1-38)
از اينجا استنباط ميشود كه نرخ خرابي سيستمي كه از اجزاء سري با توزيعهاي نمايي تشكيل ميشود برابر مجموع نرخهاي خرابي تكتك اجزاء ميباشد.
بطور مشابه براي يك سيستم موازي كه از دو قطعه تشكيل ميشود ميتوان نوشت:
(1-39) QP(t)=Q1(t)Q2(t)
(1-40) RP(t)=1-Q1(t)Q2(t)=R1(t)+R2(t)-R1(t)R2)t)
و براي سيستم شامل n قطعه
(1-41)
(1-42)
از آنجا كه
(1-43)
روابط (1-41) و (1-42) بصورت زير ميايند.
(1-44)
(1-45)
روابط (1-44) و (1-45) كاملاً كلي هستند زيرا (1-43) براي هر توزيعي درست است. اگر حالت خاص توزيع نمايي مدنظر باشد آنگاه
(1-46)
(1-47)
از روابط فوق مشخص است كه در حالت كلي نميتوان سيستم موازي را با يك قطعه معادل جايگزين كرد. همچنين با وجود فرض نمايي بودن همه توزيعها باز هم توزيع بدست آمده براي سيستم موازي نمايي نميشود.
1-3-9- دياگرام فضاي حالت قابليت اطمينان
هر سيستم ازتعدادي قطعه تشكيل ميشود و هر قطعه ميتواند در حالت بالا (عملكرد) يا پايين (تعمير) باشد. در يك دياگرام حالت، بايد همه حالتهايي كه سيستم ميتواند اختيار كند و همه راههاي شناخته شده براي رفتن از يك حالت به حالت ديگر آورده شوند. شكل (1-9) دياگرام فضاي حالت را براي يك سيستم تك عضوي نشان ميدهد.
نرخهاي خرابي و تعمير، هر دو ثابت هستند. شيوه بدست آوردن دياگرام فضاي حالت به اطلاعات موجود از سيستم كاملاً وابسته است بطوريكه دياگرامهاي دو سيستمي كه از تعداد قطعه يكسان تشكيل شدهاند ولي نحوه عملكردشان متفاوت است لزوماً يكسان نيستند.
به عنوان مثال در اينجا تعدادي از دياگرامهاي ممكن براي يك سيستم دو قطعهاي بررسي ميشوند. در كليترين صورت شكل (1-10) حاصل ميشود.
شكل (1-10): دياگرام فضاي حالت سيستم دو قطعهاي با قطعات متفاوت
اگر قطعات مشابه باشند بطوريكه نتوان بين حالات 2 و 3 در شكل (1-10) فرق گذاشت دياگرام تبديل به شكل (1-11) ميگردد.
شكل (1-11): دياگرام فضاي حالت سيستم دو قطعهاي يكسان
در شكل فوق فرض بر اين است كه دو قطعه را ميتوان با هم مورد تعمير قرار داد. اين فرض زماني درست است كه امكانات اجازه كار همزمان بر روي دو قطعه خراب شده را بدهند. اگر در هر زمان فقط يك قطعه قابل تعمير باشد نرخ تعمير مربوط به هر پيكان برابر ميشود.
ملاحظه ميگردد كه اطلاعات موجود از سيستم بنحوي قابل اعمال است در دياگرام حالت است.
1-3-10- احتمالات حالت ماندگار
دياگرام فضاي حالت سيستم تك عضوي شكل (1-9) را در نظر بگيريد و فرض كنيد.
احتمال سالم بودن وسيله در زمان P0(t)=t
احتمال خراب بودن وسيله در زمان P1(t)=t
براي محاسبه P0(T) و P1(t)=t ميتوان ترتيب زير عمل نمود.
اگر يك باره زماني كوچك dt اختيار شود بنحوي كه احتمال دو اتفاق يا بيشتر در آن ناچيز باشد آنگاه:
[ احتمال بودن در حالت عملكرد پس از گذشت زمان dt يعني در نقطه t+dt ]
[احتمال بودن در حالت 1 و تعمير شدن در زمان dt]
(1-48) [احتمال بودن در حالت 0 و در زمان t و خراب نشدن درباره dt]+
از آنجا كه احتمال دو اتفاق يا بيشتر ناچيز ميباشد و فرض حاكم بودن توزيع نمايي بر فزايندهاست:
احتمال خراب شدن و احتمال سالم ماندن درباره زماني dt ميباشد.
براي بدست آوردن جمله اول رابطه (1-48) كافي است P0(t) در احتمال سالم ماندن ضرب شود. به طريقي مشابه جمله دوم ساخته شده و رابطه زير حاصل ميگردد.
(1-49)
همچنين
(1-50)
از رابطه (1-47) بدست ميآيد.
(1-51)
كه اگر عبارت سمت چپ مشتق زماني P0(t) ميشود.
(1-52)
نظير رابطه فوق از (1-50) معادله زير بدست ميآيد.
(1-53)
ميتوان روابط (1-52) و (1-53) را بفرم ماتريسي نوشت.
(1-54)
اگر معادلات ديفرانسيلي فوق به يكي از طرق معمول از جمله تبديل لاپلاس حل شوند نتايج زير حاصل ميگردد.
(1-55)
(1-56)
از طرفي براي همه شرايط اوليه رابطه P0(O)+P1(O)=1 برقرار است به علاوه در عمل كه سيستم با موفقيت كار خود را آغاز ميكند P0(O)=1 و P1(O)=0 در نتيجه:
(1-57)
(1-58)
با كمي دقت ميتوان دريافت كه P0(t) همان A(t) (احتمال در دسترس بودن) و P1(t) همان U(t) (احتمال در دسترس نبودن) ميباشند.
روابط (1-55) و (1-56) همچنين نشان ميدهند كه با ميل كردن t به سمت بينهايت P0(t) و P1(t) به مقادير ثابتي ميل ميكنند. اگر اين مقادير با P0 و P1 نشان داده شوند آنگاه:
(1-59)
به P0 و P1 مقادير حدي احتمالات حالتها يا احتمالات حالت ماندگار گويند. توجه كنيد كه P1 و P1 از حالات اوليه سيستم مستقل هستند.
بد نيست دو پارامتر سودمند ديگر در اينجا معرفي شوند: متوسط زمان تا خرابي، MTTF=m و متوسط زمان تا تعمير MTTR=r اين دو از رابطه كلي متوسطگيري بدست ميآيند.
(1-60)
انتگرال فوق به جاي از 0 شروع ميشود زيرا توزيعهاي احتمال موردنظر در بحث قابليت اطمينان از زمان صفر مشخص ميگردند (در زمان صفر وسيله يا سيستم كار خودرا با موفقيت آغاز ميكند.) چون توزيع، نمايي فرض شده است.
(1-61)
(1-62)
P0 و P1 را ميتوان برحسب m و r بيان كرد.
(1-63)
(1-64)
روش كلي بدست آوردن احتمالات حالت ماندگار پس از مطرح كردن فرايندهاي ماركوف مورد بررسي قرار خواهد گرفت.
1-3-11- فرايند ماركوف
فرايند ماركوف يك فرايند اتفاقي است كه در آن روي دادن يك حالت در آينده فقط و فقط به حالت بلافاصله پيش از آن بستگي داد. اصطلاحاً گفته ميشود يك فرايند ماركوف فاقد حافظه است. براي تشخيص حالتهاي سيستم ميتوان از دياگرام فضاي حالت بهره گرفت. اگر متغيرهاي تصادفي فرايند گسسته باشند و احتمال رفتن از حالت I به حالت J با گذشت زمان تغيير نكند فرايند ساكن بوده و با ماتريس زير كاملاً توصيف ميشود.
(1-65)
در ماتريس فوق Pij احتمال رفتن از حالت I به حالت J ميباشد. به اين ماتريس، ماتريس احتمال اتفاقي انتقالي اطلاق ميشود.
فرايند ماركوف راي متغيرهاي تصادفي پيوسته نيز تعريف ميگردد. براي ساكن بودن فرايند بايد احتمال انتقال از يك حالت به حالت ديگر فقط به طول بازهاي از متغير تصادفي(مثلاً زمان) كه بين حالت كنوني و حالت آينده واقع شده است بستگي داشته باشد. اين حالت وقتي پيش ميآيد كه توزيع متغيرهاي تصادفي نمايي باشد. بنابراين استفاده از روش ماركوف هميشه به توزيعهاي نمايي محدود ميگرد. براي تشكل ماتريس احتمال اتفاقي انتقالي بايد يك بازه كوچك از متغيرهاي تصادفي اختيار شود بطوريكه احتمال بيش از يك اتفاق در اين باره ناچيز باشد.
به عنوان مثال براي سيستم تك عضوي شكل (1-9) ماتريسي مذكور عبارت خواهد بود از:
(1-66)
يكي از كاربردهاي ماتريس P در محاسبه احتمالات حالت ماندگار است. فرض كنيد بردار شامل احتمال حالتها باشد. در مورد سيستم تك عضوي:
(1-67)
و همچنين با توجه به تعريف P رابطه زير صادق است.
(1-68)
و اما در حد يعني وقتي به سمت بردار ثابت ميل ميكند. P0 و P1 احتمالات حالت ماندگار هستند بنابراين در حد:
(1-69)
با استفاده از رابطه (1-69) در مورد سيستم تك عضوي ميتوان گفت
(1-70)
و از اينجا:
با ساده كردن و حذف معادلات بشكل زير در خواهند آمد:
(1-71)
(1-72)
و بالاخره
ملاحظه ميشود كه در معادلات حذف شده است. در محاسبه احتمالات حالت ماندگار از روش فوق همواره اين اتفاق روي ميدهد. بنابراين ميتوان از فرم ساده شده P بصورت زير استفاده كرد.
(1-73)
البته ماتريس فوق ديگر ماتريس احتمالي اتفاقي انتقالي نيست.
(1-4) روابط تقريبي براي محاسبه قابليت اطمينان
اين قسمت در بردارنده روابطي است كه در فصل آينده براي بدست آوردن قابليت اطمينان سيستم توزيع انرژي الكتريكي مورد استفاده قرار ميگيرند.
با بالارفتن ابعاد و پيچيدگي يك سيستم، روشهايي نظير ساختن درخت پيشامد، دياگرام فضاي حالت و مدلسازي ماركوف بتدريج كارآيي خود را از دست ميدهند. در اين مورد از روشهايي استفاده ميشود كه براساس مدلسازي ماركوف بوجود آمدهاند و از روابط تقريبي براي محاسبه قابليت اطمينان سود ميجويند. ايده اصلي در اين تكنيكها بدست آوردن معادلاتي است كه بتوان توسط آنها قابليت اطمينان سيستمهاي سري و نيز سيستمهاي موازي را بطور مناسب اما تقريبي حساب كرد. با استفاده از اين معادلات به همراه روشي مانند تحليل كاتست، محاسبه قابليت اطمينان سيستم در زمان اندك و با دقت كافي ميسر ميگردد. از آنجا كه نحوه استخراج اين روابط مدنظر نيست به معرفي آنها اكتفا ميشود.
سه پارامتر اساسي كه غالباً در مطالعات قابليت اطمينان گزارش ميشوند عبارتند از: نرخ خطاي متوسط، زمان متوسط تعمير(MTTR) يا خارج از كار بودن، rs، و زمان متوسط سالانه خارج از كار بودن يا در دسترس نبودن سالانه، Us اگر برحسب تعداد خرابيها در سال (f/yr) و rs برحسب ساعت h بيان كردند آنگاه Us برحسب ساعت در سال خواهد بود.
يادآوري ميشود كه Us يك احتمال است پس براي بدست آوردن مقداري بين 0 و 1 براي آن، بايد مقدار برحسب ساعت در سال را بر 8766(تعداد ساعات در يك سال) تقسيم كرد. نمايش واحد دار Us بدليل آنكه مدت موسط خرابي ساليانه را مستقيماً نشان ميدهد اغلب مورد استفاده قرار ميگيرد.
براي يك سيستم سري n عضوي ضرايب فوق از روابط تقريبي زير بدست ميآيند.
(1-74)
(1-75)
(1-76)
و ri بترتيب نرخ خرابي و زمان تعمير متوسط قطعه iام ميباشند.
در يك سيستم موازي دو عضوي، روابط زير وجود دارند.
(1-77)
وقتي
(1-78)
(1-79)
همچنين براي سه قطعه موازي روابط تقريبي عبارتند از:
(1-80)
(1-81)
(1-82)
براي حالتهاي موازي مراتب بالاتر روابط مشابهي ميتوان بدست آورد گرچه در عمل معمولاً تعداد قطعات موازي خيلي زياد نميباشد.
نكات زير در مورد روابط ارائه شده حائز اهميت هستند.
I. پيش از بكارگيري روابط تقريبي بايد مطمئن شد كه استفاده از آنها براي سيستم موردنظر بلامانع است. به عبارت ديگر مدلي كه اين روابط از آن بدست آمدهاند مي تواند براي تحليلي سيستم بكار رود.
II. معادلات تقريبي فقط مقادير متوسط پارامترها را نشان ميدهند. از طرفي هر پارامتر داراي يك توزيع احتمال است كه لزوماً نمايي نميباشد.
III.گرچه روابط فوق با توجه به فرايند ماركوف و فرض نمايي بودن توزيعها بدست آمدهاند. ميتوان آنها را براي مجاسبه متوسط پارامترهاي توزيعهاي ديگر نيز بكار برد. Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 st1\:*{behavior:url(#ieooui) } /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Table Normal"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt; mso-para-margin:0in; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;} table.MsoTableGrid {mso-style-name:"Table Grid"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext; mso-border-insidev:.5pt solid windowtext; mso-para-margin:0in; mso-para-margin-bottom:.0001pt; text-align:right; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;}
فصل اول
مباني نظريه و قابليت اطمينان
1-1- مقدمه
مطالعه درباره قابليت اطمينان بخش مهمي از فرايند طراحي مهندسي است كه در آن عملكرد آينده يك سيستم مورد بررسي و قضاوت قرار ميگيرد. از آنجا كه پيشبيني آينده نميتواند با قطعيت كامل همراه باشد طبيعي است در انجام محاسبات قابليت اطمينان، روشهايي بكار ميروند كه امكان مدلسازي عدم قطعيت را فراهم ميآورند. كميتهاي رياضي بايد تعارف دقيقي داشته و توسط اعداد بيان كردني باشند اما همين كميتها معمولاً از مفاهيم ذهني سرچشمه ميگيرند كه نميتوان تمام جنبههاي آنها را به عدد درآورد. نياز به قابليت اطمينان عاملي است كه كم و بيش همه ما را وادار به صرف وقت، انرژي و پول ميكند. بطوركلي قابليت اطمينان بيشتر معادل با هزينه بالاتر است. اما با يك هزينه معين قابليت اطمينان سيستم را به چه سطحي ميتوان رسانيد؟!
با انجام محاسبات قابليت اطمينان ميتوان به موارد بالا پاسخ داد. به علاوه امكان مقايسه طرحهاي مختلف و انتخاب مناسبترين آنها فراهم ميگردد. پيشرفتهاي اوليه در تكنيكهاي محاسبه قابليت اطمينان با تحقيقات مربوطه به صنايع فضايي و نظامي همراه بود. اين تكنيكها سپس در صنايع هستهاي، كارخانههاي با توليد مداوم نظير كارخانههاي ساخت مواد شيميايي و فولاد، كه با بروز خطا ضررهاي زيادي متحمل ميشوند و بالاخره در صنعت برق كه موظف است نياز مصرفكنندگان را در هر زمان برآورده سازد، جاي خود را بسرعت باز كردند. بايد بخاطر داشت اظهارنظر در مورد عملكرد مناسب يك سيستم مسأله پيچيدهاي است و حتما بايد با قضاوت مهندسي، كه عميقاً ريشه در تجربه دارد انجام پذيرد. بنابراين مجاسبه قابليت اطمينان ابزاري در دست مهندس طراح ميباشد نه جايگزين او. در زماني هم كه هنوز ارزيابي قابليت اطمينان به صورت يك روال مستقل هويت پيدا نكرده بود مهندسان با استفاده از تجربه خود و با عنايت به مفهوم ذهني قابليت اطمينان، طراحيهاي برجستهاي انجام ميدادند. انجام محاسبات قابليت اطمينان بدون توجه به واقعيت فيزيكي، بيشتر به يك بازي رياضي شبيه است تا يك كار جدي مهندسي.
نكته ديگر آنكه يك طرح با وجود داشتن قابليت اطمينان بالا فقط وقتي در عالم واقعيت به همان ميزان اعتبار خواهد داشت كه با يك كنترل كيفيت خوب در مرحله ساخت، به قابليت اطمينان ذاتي آن اجازه بروز داده شود. بنابراين قابليت اطمينان و كنترل كيفيت كاملاً بهم وابستهاند. در ادامه مفاهيم اصلي تئوري قابليت اطمينان بيان خواهد شد. سپس روشهاي محاسبه قابليت اطمينان تعريف شده در سيستمهاي گوناگون، مورد بررسي قرار خواهد گرفت تا بدين ترتيب زمينه براي مطالعه قابليت اطمينان در شبكههاي توزيع انرژي الكتريكي كه موضوع فصل دوم است فراهم گردد.
1-2- مفاهيم اصلي قابليت اطمينان
تكنيكهاي ارزيابي قابليت اطمينان بر تئوري احتمال بنا گرديدهاند. لذا بهرهمندي از دانش كافي درباره اين تئوري شرط لازم براي ورود به مباحث قابليت اطمينان است.
قابليت اطمينان يك سيستم، R(t) احتمال باقي ماندن آن در حالت عملكرد براي مدت زمان t پس از شروع به كار است بشرطي كه در زمان t=o سيستم سالم (در حالت عملكرد) بوده باشد. با كمي دقت ميتوان دريافت كه t در تعريف فوق يك متغير تصادفي است. به اين متغير، زمان تا خرابي گفته ميشود. تابع چگالي احتمال t و f(t) تابع چگالي خرابي دارد. با انتگرالگيري از f(t) روي [o,t] تابع توزيع تجمعي خرابي حاصل ميشود كه بيانگر احتمال خراب شده سيستم در آن بازه زماني است.
(1-1)
از آنجا كه
(1-2) Q(t)+R(t)=1
پس
(1-3)
ديده ميشود كه قابليت اطمينان از نوع احتمال ميباشد. البته R و Q تنها شاخصههايي نيستند كه براي ارزيابي قابليت اطمينان سيستمها مورد استفاده قرار ميگيرند. در حقيقت تعداد اين شاخصها بسيار زياد است و مناسبترين آنها با توجه به سيستم مورد بررسي و نيازهاي آن انتخاب ميشوند. به شاخصهاي مذكور در مجموع ضرايب قابليت اطمينان اطلاق ميگردد. بطور مثال ميتوان از زمان متوسط بين دو خرابي متوالي، زمان متوسط خرابي يك وسيله، ضرر متوسط بدليل خرابي، تعداد متوسط خرابيهاي اتفاق افتاده در يك بازده زماني و ... نام برد.
يكي از مسائل بحثبرانگيز تعيين شكل تابع چگالي خرابي است. براي پرداختن به اين مسأله لازم است ابتدا تابع ديگري معرفي گردد كه از پر كاربردترين توابع در محاسبات قابليت اطمينان ميباشد. اين تابع كه نرخ خرابي خوانده شده با نماد نشان داده ميشود در حقيقت مبين نرخ يا سرعتي است كه خرابيها اتفاق ميافتند البته با تعداد خرابيهاي بوجود آمده در يك بازده زماني داده شده تفاوت دارد زيرا مقدار آن وابسته به بزرگي جامعه تحت بررسي است. مثلاً گرچه تعداد خرابيها در يك جامعه آماري با 100 نمونه مشابه، كمتر از تعداد خرابيها در يك جامعه با 1000 عدد از همان نمونه ميباشد، نرخ خرابي هر دو يكي است. به بيان ديگر اگر دو جامعه آماري فوق داراي تعداد خرابي يكسان در يك بازده زماني مشخص باشند نرخ خرابي جامعه 100 عضوي از نرخ خرابي جامعه 1000 عضوي بيشتر است.
با اين توضيح معلوم ميشود كه نرخ خرابي وابسته به تعداد خرابيها در يك بازده زماني و تعداد اعضاي قرار گرفته در معرض خرابي ميباشد.
حال فرض كنيد نمونهاي با تعداد ثابت N0 عضو مورد آزمايش قرار گرفته و نتايج زير حاصل شده است:
تعداد اعضاي سالم مانده در زمان N0(t)=t
تعداد اعضاي خراب شده در زمان Nf(t)=t
بديهي است كه
(1-5) Ns(t)+Nf(t)=N
در هر زمان t، تابع قابليت اطمينان يا تابع عمر با رابطه زير بيان ميشود.
(1-6)
رابطه R(t) و f(t) بصورت زير قابل بيان است.
(1-7)
در نتيجه
(1-8)
با توجه به رابطه (1-4) براي ميتوان نوشت.
(1-9)
از اينجا رابطه R(t) برحسب بدست ميآيد.
(1-11)
اگر يعني ثابت و مستقل از زمان باشد آنگاه
(1-12)
(1-13)
پس با فرض ثابت بودن نرخ خرابي يك تابع چگالي نمايي حاصل ميگردد.
مشاهده ميشود كه فرض ثابت بودن روابط را بشدت ساده ميكند. اما آيا در عمل اين فرض درست است؟
منحني تغييرات نرخ خرابي برحسب طول عمر كه براي بسياري از قطعات و وسايل بطور تقريبي صادق است بصورت زير ميباشد.
اول كه مرحله اشكالزدايي نام دارد نرخ خرابي با گذشت زمان كم ميشود. در اين فاز خرابيها در نتيجه وجود اشكال در طراحي وسيله روي ميدهند. با برطرف كردن اين اشكالات، وسيله وارد فاز دوم يا عمر مفيد خود ميشود. در اينجا نرخ خرابي با تقريب خوبي ثابت است. مرحله آخر زماني است كه وسيله بتدريج فرسوده ميگردد و در نتيجه نرخ خرابي آن با زمان، افزايش قابل ملاحظهاي مييابد. به شكل فوق منحني وان حمام گفته ميشود.
پس براي عملكرد طبيعي يك قطعه ميتوان از توزيع نمايي استفاده كرد. البته طول عمر مفيد قطعات مختلف بسيار متنوع است. مثلاً قطعات الكترونيكي عموماً طول عمر مفيدشان زياد است. در عوض قطعات مكانيكي عمر مفيد كمي دارند. مسئله ديگر كه باز استفاده از توزيع نمايي را توجيه ميكند اين است كه معمولاً قطعات يك سيستم به حال خود رها نشده بلكه براي جلوگيري از فرسودگي هراز چند گاهي سرويس و تعمير ميگردند. به اين عمل، رسيدگي گفته ميشود. بدين ترتيب مدت باقي ماندن قطعه در فاز دوم افزايش مييابد. از آنجا كه در سيستمهاي مورد بررسي در اين تحقيق، رسيدگي هميشه اعمال ميشود بايد در مدلسازي اثر آن منظور گردد. در اين راستا تابعي بنام نرخ تعمير بصورت زير تعريف ميشود.
(1-14)
زماني كه طول ميكشد تا وسيله عمر تعمير يا سرويس شود يك متغير تصادفي است. تشابه ميان نرخ تعمير و نرخ خرابي ناگفته پيداست. در حقيقت هر دو اينها را ميتوان در قالب كلي نرخ انتقال تعريف كرد.
بدين ترتيب كه يك سيستم يا يك وسيله در هر زمان در حال كار و يا در حال تعمير ميباشد. حالت كار يك وسيله را حالت بالا و حالت تعمير آنرا حالت پايين گويند. انتقال يعني رفتن از يك حالت به حالت ديگر، نرخ انتقال بصورت زير تعريف ميشود.
(1-15)
باتوجه به مفهوم نرخ انتقال با روابط زير بيان ميگردند.
(1-16)
(1-17)
شايد برابري روابط (1-4) و (1-16) همچنين (1-14) و (1-17) در نگاه اول آشكار نباشد. اما بحث زير ثابت ميكند كه (1-4) و (1-16) نتايج يكساني در بر دارند. استدلال براي دو رابطه ديگر مشابه است.
آزمايشي كه بايد براي بدست آوردن (1-4) انجام گيرد چنين است: يك نمونه تصادفي n تايي از جامعه موردنظر انتخاب كنيد. مثلاً تعداد 100 عدد از وسيلهاي كه ميخواهيد نرخ خرابي آنرا پيدا كنيد. همه اعضاي نمونه را بكار اندازيد زمان تا خرابي هر يك را ثبت نماييد. از رابطه (1-4) نرخ خرابي را محاسبه كنيد.
آزمايش زيربنايي رابطه(1-16) عبارت است از: يك عدد وسيله را به تصادف انتخاب كنيد. آنرا بكار اندازيد و بگذاريد خراب شود. زمان تا خرابي را ثبت كنيد. سپس آنرا تعمير كنيد و مجدداً بكار اندازيد. آن عمليات را تا جايي كه اطلاعات كافي بدست آيد ادامه دهيد(مثلاً 100 بار).
از رابطه (1-16) نرخ خرابي را محاسبه كنيد.
فرض بر اينست كه تعمير يك وسيله و انتخاب يك وسيله از جامعه با هم معادل هستند.
اين دو آزمايش را ميتوان به آزمايشهاي انداختن n سكه با هم و يك سكه n بار تشبيه كرد.
يادآور ميشود كه t در روابط فوق متغير تصادفي است. در روابط (1-4) و (1-16) t زمان تا خرابي و در روابط (1-14) و (1-17) t زمان تا تعمير يا همان زمان تعمير ميباشد.
گفته شد كه براي سيستمهاي موردنظر در اينجا رسيدگي اعمال ميگردد. در چنين سيستمهايي براي بيان قابليت اطمينان معمولاً از دو احتمال صحبت ميشود. احتمال در دسترس بودن و احتمال در دسترس نبودن. اولي را با A(t) و دومي را با U(t) نشان ميدهند.
در دسترس بودن عبارت است از احتمال اينكه سيستمي در يك زمان t در آينده در حالت عملكرد باشد بشرطي كه در زمان t=0 در حالت عملكرد بوده باشد.
ممكن است در مقاطعي از زمان [O,t] سيستم به حالت پايين (تعمير) برود و از اينجا تفاوت بين A(t) و R(t) معلوم ميگردد. توجه كنيد كه R(t) احتمال باقيماندن سيستم درحالت بالا (عملكرد) در تمام طول [O,t] ميباشد.
احتمال در دسترس نبودن U(t) را ميتوان بطور مشابه تعريف و با Q(t) مقايسه كرد.
در انتهاي اين قسمت لازم است بار ديگر به مسأله توزيعهاي احتمال توجه شود. دلايلي براي استفاده از توزيع نمايي ارائه گرديد. اما مشكل به همين سادگي حل نميشود. اولاً منحني وان حمام تأكيد ميكند كه در زمان فرسودگي، نرخ خرابي ثابت نيست. گرچه سعي بر اين است كه از رسيدن قطعات به اين فاز جلوگيري شود همواره اين امكان وجود دارد كه قطعه يا قطعاتي از سيستم فرسوده شده باشند. بنابراين لازم است به اين مرحله نيز توجه كافي مبذول گردد.
ثانياً نرخهاي تعمير معمولاً از توزيع نمايي پيروي نميكنند و گاه براي مدل كردن آنها ناگزير از روشهاي عددي استفاده ميشود. به روشهاي عددي كه براي حل مسأله مربوط به متغيرهاي تصادفي به كار ميروند مجموعاً «مدلسازي مونت كارلو» اطلاق ميگردد. با توضيحات اخير شايد تصور اين باشد كه مطالب ارائه شده بسيار نادقيق بوده و در عمل ارزشي ندارند. اما خوشبختانه حقيقتي وجود دارد كه اين كاستيها را تا اندازهاي جبران ميكند.
اكثر تكنيكهاي محاسباتي كه در قسمت آينده آورده ميشوند در مورد متوسطهاي آماري متغيرهاي تصادفي درست ميباشند و ربطي به توزيعهاي زيربنايي آنها ندارند. از آنجا كه براي بيان ضرايب قابليت اطمينان از متوسطهاي آماري بهره گرفته ميشود. مهندس طراح با آسودگي خاطر از تكنيكهاي مذكور استفاده ميكند و نگراني او بيشتر اين است كه متوسطهاي آماري اطلاعات ورودي با چه دقتي در اختيار هستند.
(1-3) تكنيكهاي محاسبه قابليت اطمينان سيستمها
وقتي صحبت از سيستم ميشود منظور تعدادي قطعه است كه با هم وظيفه خاصي را انجام ميدهند. اگر وظيفه موردنظر تحقق يابد سيستم در كار خود موفق بوده است و در غير اينصورت با شكست مواجه شده است. يكي از عوامل عمده عدم موفقيت سيستم، خراب شدن قطعات تشكيل دهندة آن است.
البته خرابي يك قطعه لزوماً به معني خرابي سيستم نيست بلكه اين به نحوه شركت داشتن قطعه در عملكرد مجموعه مربوط ميشود. مطالعات قابليت اطمينان بايد تعيين كنند كه حساسيت يا ميزان تأثيرپذيري سيستم از خرابي هر يك از اجزاء چه اندازه ميباشد. براي اين منظور تقسيمبنديهايي از انواع سيستمها صورت پذيرفته است كه مهمترين آنها عبارتند از: سيستمهاي سري، موازي، سري – موازي، K از n كمكي آماده باشد و پيچيده.
1-3-1- سيستم سري
در يك سيستم سري همه اجزاء بايد براي موفقيت كار كنند. به عبارت ديگر خرابي حتي يكي از قطعات منجر به شكست يا خرابي سيستم ميشود. شكل (1-2) بطور نمادين يك سيستم سري شامل دو عنصر را نشان ميدهد.
اگر قابليت اطمينان قطعات A و B به ترتيب RA و RB باشند آنگاه قابليت اطمينان سيستم
(1-18) RS=RARB
ميباشد احتمال شكست سيستم نيز براحتي قابل محاسبه است.
(1-19) QS=1-RARB=QA+QB-QAQB
مشاهده ميشود كه قابليت اطمينان سيستم سري از قابليت اطمينان هر يك از اجزاء تشكيلدهنده آن كمتر ميباشد.
1-3-2- سيستم موازي:
در يك سيستم موازي فقط لازم است يكي از قطعات كار كند تا سيستم بتواند وظيفه خود را به انجام رساند يا براي خرابي سيستم همه اجزا بايد خراب باشند. شكل (1-3) نشاندهنده يك سيستم موازي دو عنصري است.
احتمال شكست اين سيستم عبارتست از:
(1-20) QP=QAQB
در نتيجه
(1-21) RP=1-QAQB=RA+RB-RARB
برخلاف سيستم سري، قابليت اطمينان سيستم موازي با افزايش تعداد قطعات زياد ميشود.
1-3-3- سيستم سري – موازي
ممكن است در يك سيستم هم تركيب سري و هم تركيب موازي وجود داشته باشد. در اين صورت با استفاده از روابط فوق براحتي ميتوان قابليت اطمينان سيستم را حساب كرد.
شكل (1-4) سيستمي شامل 8 قطعه كه در دو شاخه چهارتايي با هم موازي شدهاند را نشان ميدهد.
1-3-4- سيستم k از n
اگر براي موفقيت يك سيستم n عضوي لازم باشد كه حداقل k عضو كار كنند به آن سيستم، k از n گويند. براي محاسبه قابليت اطمينان چنين سيستمي، تركيبات k عضوي، k+1 عضوي، ...، n عضوي از n عضو را پيدا و براي هر يك قابليت اطمينان را حساب ميكند. از مجموع قابليت اطمينان تركيبات، قابليت اطمينان كل سيستم بدست ميآيد. به عنوان مثال اگر سيستمي از سه عنصر A و B و C تشكيل شده و 2 از 3 باشد آنگاه در صورت داشتن هر يك از حالات زير سيستم به وظيفه خود عمل ميكند.
خراب
سالم
C
A,B
A
B,C
B
C,A
-
A,B,C
جدول(1-1): حالات موفقيت يك سيستم 2 از 3
در نتيجه
(1-22) RTOT=RARBQC+RBRCQA+RCRAQB+RARBRC
1-3-5- سيستم كمكي آماده باش
سيستم موازي را ميتوان كمكي كامل نيز دانست زيرا تعدادي قطعه بطور همزمان در حال كار هستند تا وظيفهاي كه هر يك به تنهايي قادر به انجام آن ميباشند تحقق يابد. در بعضي از سيستمها قطعات كمكي تعبيه ميشوند اما فقط زماني شروع به كار ميكنند كه قطعه اصلي دچار خرابي گردد. شكل (1-5) بطور نمادين سيستمي شامل يك قطعه كمكي را نشان ميدهد.
اگر A خراب شود كليد S، قطعه B را وارد عمل ميكند. براي محاسبه قابليت اطمينان چنين سيستمي بايد موفقيت و شكست كليد را نيز در نظر گرفت. با استفاده از احتمالات شرطي، احتمال شكست سيستم فوق بصورت زير قابل بيان است.
(1-23)
(عدم موفقيت كليد)P×(عدم موفقيت كليد شكست سيستم)P+(موفقيت كليد)P×(موفقيت كليد شكست سيستم)P= (شكست سيستم)P
بنابراين
(1-24) Q=QAQBRS+QAQS
كه در آن RS قابليت اطمينان كليد است و QS=1-RS
اگر RS=1 آنگاه Q=QAQB و سيستم فوق مشابه يك سيستم موازي عمل ميكند.
1-3-6- سيستم پيچيده
اگر در روابط ميان اعضاي تشكيلدهنده يك سيستم تركيباتي غير از سري يا موازي ساده ديده شود به سيستم پيچيده گويند. يك مثال آشنا در اين مورد سيستم پل است.
هرچه تعداد اعضاي يك سيستم و ارتباطات ميان آنها بيشتر باشد بر پيچيدگي سيستم افزوده ميگردد. روشهايي وجود دارند كه توسط آنها ميتوان قابليت اطمينان اين سيستمها را به نحو مؤثري بررسي نمود. از آن جمله بايد به موارد زير اشاره كرد.
I. روش كاتست
II. روش تاي ست
III. روش ماتريسي
IV. درخت پيشامد
V. درخت خطا
در ادامه هر يك از روشهاي فوق مختصرا توضيح داده ميشود. لازم به ذكر است كه اختلاف اين روشها در اصول زيربنايي نبوده بلكه در نحوه نمايش و كاربرد ميباشد. بنابراين وجود بعضي تشابهات ميان آنها امري طبيعي است.
1-3-7- روشهاي بررسي قابليت اطمينان سيستمهاي پيچيده
I. روش كات ست
روش كاتست به دو دليل روشي قدرتمند براي ارزيابي قابليت اطمينان سيستمها ميباشد:
I. براحتي ميتوان آنرا براي كامپيوتر برنامهريزي كرد و براي حل هر شبكه كلي بكار گرفت.
II. كاتستها مستقيماً به طرق خرابي سيستم مربوط ميشوند و بنابراين تشخيص سريع راههاي ممكن خرابي سيستم در اين روش امكانپذير ميباشد.
يك كاتست طبق تعريف مجموعهاي از قطعات سيستم است كه اگر خراب شوند سيستم نيز دچار خرابي ميگردد. كاتست را مينيمال گويند اگر سالم ماندن قطعات آن، سيستم را از شكست حفظ كند. به بيان ديگر ميتوان گفت خراب شدن اعضاي يك كاتست بين ورودي و خروجي را قطع ميكند. به عنوان نمونه در سيستم پل شكل (1-6) كاتسيتهاي مينيمال زير قابل تشخيص ميباشند.
اعضاي كات ست
شماره كات ست مينيمال
AB
1
CD
2
AED
3
BEC
4
جدول(1-2): كاتستهاي مينيمال شكل (1-6)
براي پيدا كردن قابليت اطمينان كل بايد كاتستها با هم تركيب شوند. از تعريف كاتست، مينيمال استنباط ميشود كه اعضاي آن اساساً با هم موازي هستند. از طرفي با خرابي هركاتست سيستم از كار ميافتد پس خود كاتستها عملاً با هم سري ميشوند. از اين تحليل براي سيستم پل، دياگرام زير حاصل ميگردد.
اگر كات ستها را به ترتيب با C1،C2 ، C3، C4 نشان دهيم احتمال شكست سيستم QS عبارت خواهد بود از
كه اگر QA=QB=QC=QD=QB=Q آنگاه پس از انجام عمليات جبري
(1-25) QS=2Q2+2Q3-5Q4+2Q5
RS=1-QS
(1-26) RS=2R2+2R3-5R4+2R5
در اين روش زمان محاسبات قاليت اطمينان سيستمهاي بزرگ، خيلي زياد است. به اين منظور با لحاظ كردن مقداري خطا ميتوان تقريبهايي به كار برد.
البته اين خطا در مقايسه با ترانس و خطاي دادههاي قابليت اطمينان سيستم ناچيز است. در تقريب اول ميتوانيم معادله(1-24) را به صورت زير بنويسيم.
(1-27)
در اين تقريب مقدار QS هميشه از مقدار حقيقي بيشتر ميباشد و معمولاً مرز بالاي غيرقابل اطمينان بودن سيستم معرفي ميشود.
تعداد عناصر در هر كات ست، درجه آن را مشخص مينمايد. مثلاً اگر كات ست شامل دو عنصر باشد آن را درجه دو مينامند.
تقريب دوم، حذف كات ستهاي مينيمال از يك درجه خاص به بالا است. در اين صورت يك مرز پايين غيرقابل اطمينان بودن سيستم بدست ميآيد. يك معيار قابل قبول براي شبكههاي قدرت، پيدا نمودن كات ستهاي مينيمال تا درجه N+1 است كه n درجه كوچكترين كات ست مينيمال است.
در سيستمهاي ساده بدست آوردن كات ستها مشكل نيست اما در سيستمهاي بزرگ اين مسئله مشكل است. براي بدست آوردن كات ستهاي مينيمال روشهاي زيادي ارائه گرديده است.
اكثر اين روشها بر مبناي مسير مينيمال بين ورودي و خروجي شبكه بيان شدهاند. يك مسير بين ورودي و خروجي مينيمال است به شرطي كه هيچ گره يا تقاطعي بيش از يك بار در مسير ظاهر نشود.
مطابق با اين تعريف مسيرهاي مينيمال شبكه(1-6) عبارتند از AC و BD و AED و BEC روشي كه توسط آلن و همكاران او در سال 1976 ارائه شد روش مناسبي براي بدست آوردن كات ستهاي مينيمال است. مراحل اين روش به صورت زير است:
I. همه مسيرهاي مينيمال را بدست ميآوريم.
II. ماتريس تلاقي سيستم را به دست ميآوريم. سطرهاي اين ماتريس شماره مسيرهاي مينيمال و ستونهاي آن شماره عناصر ميباشد. اين ماتريس وجود عناصر در هر مسير را مشخص مي كند در صورت وجود عنصر در مسير عدد يك و در غير اين صورت عدد صفر به درايه ماتريس اختصاص داده ميشود.
III. اگر همه المانهاي يك ستون ماتريس تلاقي غير صفر باشند آن عنصر يك كات ست مينيمال درجه اول است. در اين صورت المانهاي ستون اين عنصر را در ماتريس تلاقي صفر ميكنيم.
IV. ستونهاي ماتريس تلاقي را دو به دو با هم تركيب مي كنيم(جمع منطقي). اگر همه عناصر اين ستون تركيبي غير صفر شدند اين كاتست، يك كاتست مينيمال درجه دوم است.
V. ستونهاي ماتريس تلاقي را سه به سه تركيب ميكنيم اگر همه عناصر اين ستون تركيبي غيرصفر شدند. يك كاتست مينيمال درجه سوم است براي بدست آوردن كاتستهاي مينيمال درجه سوم بايد كاتستهايي كه شامل كات ستهاي مينيمال درجه دوم است حذف شوند.
VI. براي درجات بالاتر همين روش را تكرار ميكنيم تا بالاترين درجه كاتست مينيمال بدست آيد. ماكزيموم درجه كاست مينيمال حداكثر برابر تعداد مسيرهاي مينيمال است.
II. روش تاي ست
اين روش اساساً مكمل روش كات ست است. از آنجا كه در اين روش طرق خرابي سيستم مستقيماً يافت نميشوند كمتر از آن استفاد مي گردد.
تايست يك مسير مينيمال از ورودي به خروجي است كه در آن اعضا بطور سري نسبت به هم قرار گرفتهاند. در نتيجه خرابي تاي ست با خرابي هر يك از اعضاي واقع در آن صورت ميگيرد. سيستم وقتي دچار خرابي ميگردد كه همه تاي ستها آن خراب شوند شكل (1-8) تاي ستهاي سيستم پل را نشان ميدهد.
III. روش ماتريسي
در اين روش ابتدا ماتريسي كه ارتباط بين اعضاء در سيستم را نشان ميدهد شناخته ميشود. در مورد سيستم شكل (1-6) ماتريس زير بدست ميآيد.
(1-26)
در اين ماتريس تفاوتي بين اعضاي يك جهته مانند A و B و اعضاي دو جهته مانند E وجود ندارد. ايده كار، تبديل اين ماتريس اوليه به ماتريسي است كه در آن جريان بين ورودي و خروجي مشخص شده باشد. ورودي و خروجي گرههايي هستند كه ميتوان آنها را به دلخواه اختيار كرد. براي تحقق اين هدف دو روش وجود دارد: حذف گره و ضرب ماتريسي.
در حذف گره بايد به غير از ورودي و خروجي تمام گرههاي ديگر را بتدريج حذف كرد تا در نهايت به يك ماتريس 2×2 رسيد. در مثال حاضر گرههاي 1 و 4 بايد در انتها باقي بمانند.
براي حذف گره Kام از ماتريس، هر المان بايد به يك المان جديد جايگزين شود. بنابراين با حذف گره 2 از ماتريس M به
و بالاخره با حذف گره 3 به
(1-29)
ميرسيم. المان N14 روش انتقال از گره 1 به گره 4 را بيان ميكند.
در ضرب ماتريسي ماتريس پايه آنقدر در خودش ضرب مي شود تا ديگر نتيجه ضرب تغيير نكند در مورد سيستم حاضر.
از اينجا به بعد نتيجه ضرب ثابت است و عمليات ميتواند متوقف شود. يك مزيت روش اخير بر روش حذف گره اين است كه علاوه بر نحوه انتقال بين ورودي و خروجي نحوه انتقال بين هر دو گره ديگر نيز مشخص ميشود.
مشاهده ميگردد كه روش ماتريسي عملاً منجر به يافتن كات ستهاي مينيمال ميشود. بنابراين ادامه راه تا پيدا شدن قابليت اطمينان سيستم مشابه روش كات ست است.
IV. درخت پيشامد
درخت پيشامد در واقع نمايش تصويري همه اتفاقاتي است كه مي تواند در يك سيستم پديد آيد. علت اين نامگذاري آن است كه هرچه به تعداد اتفاقات نشان داده شده افزوده ميگردد انشعابات نمايش تصويري نيز مانند شاخههاي يك درخت زياد ميشوند. از اين روش ميتوان در بررسي قابليت اطمينان سيستمهايي كه پيوسته در حال كار هستند و سيستمهاي آماده باش بهره گرفت. در مورد دوم، ترتيب آوردن پيشامدها در درخت بايد رعايت شود زيرا مثلاً تا زماني كه يك وسيله كمكي در حال كار نباشد نميتوان از خرابي آن صحبت كرد.
V. درخت خطا
از اين روش عمدتاً در بررسي سيستمهاي آماده باش استفاده ميشود. منطقي كه در روش درخت خطا استفاده ميگردد در جهت عكس منطق مربوط به درخت پيشامد است. به اين ترتيب كه از يك خطاي خاص شروع و سعي ميكنند شرايطي را كه منجر به پيشامدن آن ميشود پيدا نمايند و آنقدر پيش بروند تا به علل اوليه و اصلي برسند. با اين روش يك مهندس طراحي ميتواند پس از يافتن توالي خطاها به چارهانديشي براي جلوگيري از بروز آنها بپردازد.
1-3-8- تكنيكهاي ارزيابي و توزيعهاي احتمال
در يك نگاه اجمالي ميتوان گفت كه تكنيكهاي بررسي شده تاكنون به طراح امكان ميدهند تا يك سيستم هرچند پيچيده را به سيستم معادلي كه فقط شامل اجزاء سري و موازي است تبديل كند. اين تكنيكها صرفنظر از اينكه قابليت اطمنان اجزاء تشكيلدهنده سيستم اعدادي ثابت و يا وابسته به زمان باشند قابل استفاده هستند. وابسته به زمان بودن قابليت اطمينان به معني پيروي آن از يك توزيع احتمال(زمان، متغير تصادفي) است.
اكنون اين مطلب بطور خاص در مورد سيستمهاي سري و موازي نشان داده ميشود.
قابليت اطمينان يك سيستم سري كه از دو قطعه تشكيل ميگردد بصورت:
(1-18) RS=R1R2
بدست آمد. اگر R1 و R2 وابسته به زمان باشند قابليت اطمينان سيستم نيز چنين خواهد بود.
(1-32) RS(t)=R1(t)R2(t)
و در حالت كلي
(1-33)
اگر سيستم از n قطعه سري تشكيل شود:
(1-34)
در حالت خاصي كه توزيعها نمايي هستند () روابط بصورت زير ساده ميشوند.
(1-35)
ميتوان يك نرخ خرابي معادل براي كل سيستم تعريف كرد.
(1-36)
كه براي حالت نمايي
(1-37)
(1-38)
از اينجا استنباط ميشود كه نرخ خرابي سيستمي كه از اجزاء سري با توزيعهاي نمايي تشكيل ميشود برابر مجموع نرخهاي خرابي تكتك اجزاء ميباشد.
بطور مشابه براي يك سيستم موازي كه از دو قطعه تشكيل ميشود ميتوان نوشت:
(1-39) QP(t)=Q1(t)Q2(t)
(1-40) RP(t)=1-Q1(t)Q2(t)=R1(t)+R2(t)-R1(t)R2)t)
و براي سيستم شامل n قطعه
(1-41)
(1-42)
از آنجا كه
(1-43)
روابط (1-41) و (1-42) بصورت زير ميايند.
(1-44)
(1-45)
روابط (1-44) و (1-45) كاملاً كلي هستند زيرا (1-43) براي هر توزيعي درست است. اگر حالت خاص توزيع نمايي مدنظر باشد آنگاه
(1-46)
(1-47)
از روابط فوق مشخص است كه در حالت كلي نميتوان سيستم موازي را با يك قطعه معادل جايگزين كرد. همچنين با وجود فرض نمايي بودن همه توزيعها باز هم توزيع بدست آمده براي سيستم موازي نمايي نميشود.
1-3-9- دياگرام فضاي حالت قابليت اطمينان
هر سيستم ازتعدادي قطعه تشكيل ميشود و هر قطعه ميتواند در حالت بالا (عملكرد) يا پايين (تعمير) باشد. در يك دياگرام حالت، بايد همه حالتهايي كه سيستم ميتواند اختيار كند و همه راههاي شناخته شده براي رفتن از يك حالت به حالت ديگر آورده شوند. شكل (1-9) دياگرام فضاي حالت را براي يك سيستم تك عضوي نشان ميدهد.
نرخهاي خرابي و تعمير، هر دو ثابت هستند. شيوه بدست آوردن دياگرام فضاي حالت به اطلاعات موجود از سيستم كاملاً وابسته است بطوريكه دياگرامهاي دو سيستمي كه از تعداد قطعه يكسان تشكيل شدهاند ولي نحوه عملكردشان متفاوت است لزوماً يكسان نيستند.
به عنوان مثال در اينجا تعدادي از دياگرامهاي ممكن براي يك سيستم دو قطعهاي بررسي ميشوند. در كليترين صورت شكل (1-10) حاصل ميشود.
شكل (1-10): دياگرام فضاي حالت سيستم دو قطعهاي با قطعات متفاوت
اگر قطعات مشابه باشند بطوريكه نتوان بين حالات 2 و 3 در شكل (1-10) فرق گذاشت دياگرام تبديل به شكل (1-11) ميگردد.
شكل (1-11): دياگرام فضاي حالت سيستم دو قطعهاي يكسان
در شكل فوق فرض بر اين است كه دو قطعه را ميتوان با هم مورد تعمير قرار داد. اين فرض زماني درست است كه امكانات اجازه كار همزمان بر روي دو قطعه خراب شده را بدهند. اگر در هر زمان فقط يك قطعه قابل تعمير باشد نرخ تعمير مربوط به هر پيكان برابر ميشود.
ملاحظه ميگردد كه اطلاعات موجود از سيستم بنحوي قابل اعمال است در دياگرام حالت است.
1-3-10- احتمالات حالت ماندگار
دياگرام فضاي حالت سيستم تك عضوي شكل (1-9) را در نظر بگيريد و فرض كنيد.
احتمال سالم بودن وسيله در زمان P0(t)=t
احتمال خراب بودن وسيله در زمان P1(t)=t
براي محاسبه P0(T) و P1(t)=t ميتوان ترتيب زير عمل نمود.
اگر يك باره زماني كوچك dt اختيار شود بنحوي كه احتمال دو اتفاق يا بيشتر در آن ناچيز باشد آنگاه:
[ احتمال بودن در حالت عملكرد پس از گذشت زمان dt يعني در نقطه t+dt ]
[احتمال بودن در حالت 1 و تعمير شدن در زمان dt]
(1-48) [احتمال بودن در حالت 0 و در زمان t و خراب نشدن درباره dt]+
از آنجا كه احتمال دو اتفاق يا بيشتر ناچيز ميباشد و فرض حاكم بودن توزيع نمايي بر فزايندهاست:
احتمال خراب شدن و احتمال سالم ماندن درباره زماني dt ميباشد.
براي بدست آوردن جمله اول رابطه (1-48) كافي است P0(t) در احتمال سالم ماندن ضرب شود. به طريقي مشابه جمله دوم ساخته شده و رابطه زير حاصل ميگردد.
(1-49)
همچنين
(1-50)
از رابطه (1-47) بدست ميآيد.
(1-51)
كه اگر عبارت سمت چپ مشتق زماني P0(t) ميشود.
(1-52)
نظير رابطه فوق از (1-50) معادله زير بدست ميآيد.
(1-53)
ميتوان روابط (1-52) و (1-53) را بفرم ماتريسي نوشت.
(1-54)
اگر معادلات ديفرانسيلي فوق به يكي از طرق معمول از جمله تبديل لاپلاس حل شوند نتايج زير حاصل ميگردد.
(1-55)
(1-56)
از طرفي براي همه شرايط اوليه رابطه P0(O)+P1(O)=1 برقرار است به علاوه در عمل كه سيستم با موفقيت كار خود را آغاز ميكند P0(O)=1 و P1(O)=0 در نتيجه:
(1-57)
(1-58)
با كمي دقت ميتوان دريافت كه P0(t) همان A(t) (احتمال در دسترس بودن) و P1(t) همان U(t) (احتمال در دسترس نبودن) ميباشند.
روابط (1-55) و (1-56) همچنين نشان ميدهند كه با ميل كردن t به سمت بينهايت P0(t) و P1(t) به مقادير ثابتي ميل ميكنند. اگر اين مقادير با P0 و P1 نشان داده شوند آنگاه:
(1-59)
به P0 و P1 مقادير حدي احتمالات حالتها يا احتمالات حالت ماندگار گويند. توجه كنيد كه P1 و P1 از حالات اوليه سيستم مستقل هستند.
بد نيست دو پارامتر سودمند ديگر در اينجا معرفي شوند: متوسط زمان تا خرابي، MTTF=m و متوسط زمان تا تعمير MTTR=r اين دو از رابطه كلي متوسطگيري بدست ميآيند.
(1-60)
انتگرال فوق به جاي از 0 شروع ميشود زيرا توزيعهاي احتمال موردنظر در بحث قابليت اطمينان از زمان صفر مشخص ميگردند (در زمان صفر وسيله يا سيستم كار خودرا با موفقيت آغاز ميكند.) چون توزيع، نمايي فرض شده است.
(1-61)
(1-62)
P0 و P1 را ميتوان برحسب m و r بيان كرد.
(1-63)
(1-64)
روش كلي بدست آوردن احتمالات حالت ماندگار پس از مطرح كردن فرايندهاي ماركوف مورد بررسي قرار خواهد گرفت.
1-3-11- فرايند ماركوف
فرايند ماركوف يك فرايند اتفاقي است كه در آن روي دادن يك حالت در آينده فقط و فقط به حالت بلافاصله پيش از آن بستگي داد. اصطلاحاً گفته ميشود يك فرايند ماركوف فاقد حافظه است. براي تشخيص حالتهاي سيستم ميتوان از دياگرام فضاي حالت بهره گرفت. اگر متغيرهاي تصادفي فرايند گسسته باشند و احتمال رفتن از حالت I به حالت J با گذشت زمان تغيير نكند فرايند ساكن بوده و با ماتريس زير كاملاً توصيف ميشود.
(1-65)
در ماتريس فوق Pij احتمال رفتن از حالت I به حالت J ميباشد. به اين ماتريس، ماتريس احتمال اتفاقي انتقالي اطلاق ميشود.
فرايند ماركوف راي متغيرهاي تصادفي پيوسته نيز تعريف ميگردد. براي ساكن بودن فرايند بايد احتمال انتقال از يك حالت به حالت ديگر فقط به طول بازهاي از متغير تصادفي(مثلاً زمان) كه بين حالت كنوني و حالت آينده واقع شده است بستگي داشته باشد. اين حالت وقتي پيش ميآيد كه توزيع متغيرهاي تصادفي نمايي باشد. بنابراين استفاده از روش ماركوف هميشه به توزيعهاي نمايي محدود ميگرد. براي تشكل ماتريس احتمال اتفاقي انتقالي بايد يك بازه كوچك از متغيرهاي تصادفي اختيار شود بطوريكه احتمال بيش از يك اتفاق در اين باره ناچيز باشد.
به عنوان مثال براي سيستم تك عضوي شكل (1-9) ماتريسي مذكور عبارت خواهد بود از:
(1-66)
يكي از كاربردهاي ماتريس P در محاسبه احتمالات حالت ماندگار است. فرض كنيد بردار شامل احتمال حالتها باشد. در مورد سيستم تك عضوي:
(1-67)
و همچنين با توجه به تعريف P رابطه زير صادق است.
(1-68)
و اما در حد يعني وقتي به سمت بردار ثابت ميل ميكند. P0 و P1 احتمالات حالت ماندگار هستند بنابراين در حد:
(1-69)
با استفاده از رابطه (1-69) در مورد سيستم تك عضوي ميتوان گفت
(1-70)
و از اينجا:
با ساده كردن و حذف معادلات بشكل زير در خواهند آمد:
(1-71)
(1-72)
و بالاخره
ملاحظه ميشود كه در معادلات حذف شده است. در محاسبه احتمالات حالت ماندگار از روش فوق همواره اين اتفاق روي ميدهد. بنابراين ميتوان از فرم ساده شده P بصورت زير استفاده كرد.
(1-73)
البته ماتريس فوق ديگر ماتريس احتمالي اتفاقي انتقالي نيست.
(1-4) روابط تقريبي براي محاسبه قابليت اطمينان
اين قسمت در بردارنده روابطي است كه در فصل آينده براي بدست آوردن قابليت اطمينان سيستم توزيع انرژي الكتريكي مورد استفاده قرار ميگيرند.
با بالارفتن ابعاد و پيچيدگي يك سيستم، روشهايي نظير ساختن درخت پيشامد، دياگرام فضاي حالت و مدلسازي ماركوف بتدريج كارآيي خود را از دست ميدهند. در اين مورد از روشهايي استفاده ميشود كه براساس مدلسازي ماركوف بوجود آمدهاند و از روابط تقريبي براي محاسبه قابليت اطمينان سود ميجويند. ايده اصلي در اين تكنيكها بدست آوردن معادلاتي است كه بتوان توسط آنها قابليت اطمينان سيستمهاي سري و نيز سيستمهاي موازي را بطور مناسب اما تقريبي حساب كرد. با استفاده از اين معادلات به همراه روشي مانند تحليل كاتست، محاسبه قابليت اطمينان سيستم در زمان اندك و با دقت كافي ميسر ميگردد. از آنجا كه نحوه استخراج اين روابط مدنظر نيست به معرفي آنها اكتفا ميشود.
سه پارامتر اساسي كه غالباً در مطالعات قابليت اطمينان گزارش ميشوند عبارتند از: نرخ خطاي متوسط، زمان متوسط تعمير(MTTR) يا خارج از كار بودن، rs، و زمان متوسط سالانه خارج از كار بودن يا در دسترس نبودن سالانه، Us اگر برحسب تعداد خرابيها در سال (f/yr) و rs برحسب ساعت h بيان كردند آنگاه Us برحسب ساعت در سال خواهد بود.
يادآوري ميشود كه Us يك احتمال است پس براي بدست آوردن مقداري بين 0 و 1 براي آن، بايد مقدار برحسب ساعت در سال را بر 8766(تعداد ساعات در يك سال) تقسيم كرد. نمايش واحد دار Us بدليل آنكه مدت موسط خرابي ساليانه را مستقيماً نشان ميدهد اغلب مورد استفاده قرار ميگيرد.
براي يك سيستم سري n عضوي ضرايب فوق از روابط تقريبي زير بدست ميآيند.
(1-74)
(1-75)
(1-76)
و ri بترتيب نرخ خرابي و زمان تعمير متوسط قطعه iام ميباشند.
در يك سيستم موازي دو عضوي، روابط زير وجود دارند.
(1-77)
وقتي
(1-78)
(1-79)
همچنين براي سه قطعه موازي روابط تقريبي عبارتند از:
(1-80)
(1-81)
(1-82)
براي حالتهاي موازي مراتب بالاتر روابط مشابهي ميتوان بدست آورد گرچه در عمل معمولاً تعداد قطعات موازي خيلي زياد نميباشد.
نكات زير در مورد روابط ارائه شده حائز اهميت هستند.
I. پيش از بكارگيري روابط تقريبي بايد مطمئن شد كه استفاده از آنها براي سيستم موردنظر بلامانع است. به عبارت ديگر مدلي كه اين روابط از آن بدست آمدهاند مي تواند براي تحليلي سيستم بكار رود.
II. معادلات تقريبي فقط مقادير متوسط پارامترها را نشان ميدهند. از طرفي هر پارامتر داراي يك توزيع احتمال است كه لزوماً نمايي نميباشد.
III.گرچه روابط فوق با توجه به فرايند ماركوف و فرض نمايي بودن توزيعها بدست آمدهاند. ميتوان آنها را براي مجاسبه متوسط پارامترهاي توزيعهاي ديگر نيز بكار برد. Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 st1\:*{behavior:url(#ieooui) } /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Table Normal"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt; mso-para-margin:0in; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;} table.MsoTableGrid {mso-style-name:"Table Grid"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext; mso-border-insidev:.5pt solid windowtext; mso-para-margin:0in; mso-para-margin-bottom:.0001pt; text-align:right; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;}
+ نوشته شده در شنبه یکم تیر ۱۳۹۲ ساعت 23:41 توسط hamed
|